Divisibilidad infinita (probabilidad)

En la teoría de la probabilidad, se llaman funciones de distribución infinitamente divisibles a las funciones de distribución que satisfacen una extensión de la siguiente propiedad de la distribución normal: si X es una distribución normal de media ${\displaystyle \mu }$ y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ y n es un entero positivo, entonces

${\displaystyle X\sim \sum _{1}^{n}X_{i}}$

donde X_i son variables aleatorias normales de media ${\displaystyle \mu /n}$ y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}/n}$.

Estas distribuciones aparecen de manera natural en diversos contextos como en el estudio de los límites de distribuciones.^[1]​

El concepto de divisibilidad infinita fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti.

Definición

Formalmente, una distribución de probabilidad F sobre la recta real es infinitamente divisible cuando para toda variable aleatoria X con dicha distribución y cada entero positivo n, existen n variables aleatorias i.i.d. X₁, ..., X_n cuya suma tiene una distribución igual a la de X.

Ejemplos

Son infinitamente divisibles las distribuciones de: distribución de Poisson, distribución binomial negativa o de Pascal, distribución exponencial, distribución geométrica, distribución gamma, distribución normal, distribución de Cauchy y todos los otros miembros de la familia de distribuciones estables.

Sin embargo, no lo son la distribución uniforme y la distribución binomial.^[2]​ La distribución t de Student es infinítamente divisible, mientras que la distribución de la recíproca de una variable aleatoria con distribución t de Student, no lo es.^[3]​

Aplicaciones

Las distribuciones infinitamente divisibles aparecen en generalizaziones del teorema central del límite.

También están relacionadas con los procesos de Lévy.

Véase también

• Teorema de Crar
• Indecomposable distribution

Referencias

Bibliografía

• Domínguez-Molina, J.A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) "On the Infinite Divisibility of some Skewed Symmetric Distributions". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648 doi doi:10.1016/j.spl.2006.09.014
• Steutel, F. W. (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (with discussion), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
• Steutel, F. W. and Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).